ادامه حل تمرین صفحه 40 ریاضی و آمار دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه 40 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین به بررسی **خطای اندازه‌گیری**، **نوع متغیر** و **تحلیل نمودارهای آماری** می‌پردازد. --- ### الف) عوامل انحراف از واقعیت و راهکار حل مشکل * **عوامل انحراف:** مهم‌ترین عامل، **خطای \text{ یادآوری \text{ (Recall \text{ Bias)}}$ است. انسان‌ها در به خاطر آوردن دقیق جزئیات خواب (مانند «چند ساعت در $\mathbf{7}$ شب گذشته خوابیده‌ام؟») دچار مشکل می‌شوند و معمولاً $\mathbf{گرد \text{ می‌کنند}$ یا $\mathbf{خواب \text{ بیشتری}}$ را گزارش می‌دهند. این امر میانگین گزارش شده را از واقعیت دور می‌کند. * **راهکار پیشنهادی:** استفاده از روش‌های عینی و دقیق‌تر در جمع‌آوری داده‌ها (کاهش خطای اندازه‌گیری): * **ثبت روزانه (به جای هفتگی):** از دانش‌آموزان بخواهیم هر روز صبح، میزان خواب شب گذشته را ثبت کنند. * **ابزارهای عینی:** استفاده از $\mathbf{ابزارهای \text{ پوشیدنی \text{ هوشمند}$ (ساعت‌های هوشمند) برای اندازه‌گیری دقیق و عینی زمان خواب. --- ### ب) نوع متغیر و مقیاس اندازه‌گیری * **متغیر مورد بررسی:** $athbf{میانگین \text{ میزان \text{ خواب \text{ در \text{ هفته \text{ گذشته}$ (ساعت) * **نوع متغیر:** $athbf{کَمی}$ (Quantitative) - چون با عدد بیان می‌شود و جمع و تفریق دارد. * **مقیاس اندازه‌گیری:** $athbf{نسبتی}$ (Ratio). زیرا $\mathbf{0 \text{ ساعت}}$ خواب به معنای «هیچ خوابی» است (صفر مطلق) و نسبت‌ها معنا دارند (مثلاً ۸ ساعت دو برابر ۴ ساعت است). --- ### پ) تکمیل جدول میانگین و انحراف معیار (برآورد تقریبی از نمودار) با تخمین بلندی مستطیل‌ها (میانگین) و طول میله‌های خطا (انحراف معیار) از روی نمودار: | | کلاس ۱ | کلاس ۲ | کلاس ۳ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | **میانگین** | $\approx \mathbf{8.0}$ ساعت | $\approx \mathbf{9.5}$ ساعت | $\approx \mathbf{9.0}$ ساعت | | **انحراف معیار (طول میله)** | $\approx \mathbf{1.0}$ | $\approx \mathbf{1.5}$ | $\approx \mathbf{1.0}$ | **تحلیل نتایج تقریبی:** کلاس $athbf{2}$ بیشترین میانگین خواب و بیشترین پراکندگی (انحراف معیار) در میزان خواب را دارد. کلاس $athbf{1}$ کمترین میانگین و کمترین پراکندگی را دارد. --- ### ت) چه کسانی می‌توانند در اجرای بهتر این مطالعه کمک کنند؟ * **معلمان/مدیران مدرسه:** برای $athbf{اعمال \text{ انضباط}}$ و اطمینان از $athbf{صداقت \text{ دانش‌آموزان}}$ در پاسخگویی و اجرای دقیق مراحل جمع‌آوری داده‌ها. * **متخصصان خواب (روانشناسان یا پزشکان):** برای $athbf{اعتبارسنجی \text{ ابزارهای \text{ اندازه‌گیری}}$ (مثلاً پرسشنامه‌ها) و $athbf{تفسیر \text{ نتایج}}$ از دیدگاه علمی (ارتباط بین خواب و یادگیری). * **دانش‌آموزان (به عنوان مجریان):** اگر به درستی آموزش دیده باشند، می‌توانند در گام $athbf{گردآوری \text{ داده‌ها}}$ کمک کنند و **فرایند \text{ را \text{ قابل \text{ اعتمادتر \text{ کنند**.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه 40 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین به تحلیل **روند تغییرات** (Trend Analysis) و استفاده از $\mathbf{نمودار \text{ دایره‌ای}}$ برای نمایش **اجزا به کل** می‌پردازد. **داده‌های فراوانی (تخمین از نمودار میله‌ای):** | سال | دانش‌آموزان مدرسه ($athbf{D}$) | سایر اعضا ($athbf{O}$) | $athbf{کل \text{ اعضای \text{ جدید}}$ ($athbf{T}$) | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $\mathbf{2 \text{ سال \text{ پیش}}$ | $\approx 65$ | $\approx 20$ | $\mathbf{85}$ | | $\mathbf{پارسال}$ | $\approx 50$ | $\approx 30$ | $\mathbf{80}$ | | $\mathbf{امسال}$ | $\approx 40$ | $\approx 40$ | $\mathbf{80}$ | --- ### الف) تعداد اعضای خارج از مدرسه در سال گذشته با تخمین از نمودار، در ستون «پارسال»: * **دانش‌آموزان مدرسه (نارنجی):** $\approx 50$ نفر * **سایر اعضا (آبی):** $\approx 30$ نفر **جواب:** سال گذشته تقریباً $\mathbf{30}$ نفر از خارج از مدرسه عضو کتابخانه شده‌اند. --- ### ب) پیش‌بینی تعداد دانش‌آموزان عضو کتابخانه * **روند $\mathbf{D}$ (دانش‌آموزان):** $65 \to 50 \to 40$. (هر سال $\mathbf{کاهش}$ می‌یابد.) * **روند $\mathbf{O}$ (سایر اعضا):** $20 \to 30 \to 40$. (هر سال $\mathbf{افزایش}$ می‌یابد.) **پیش‌بینی:** اگر این روند کاهشی ادامه یابد (به طور میانگین $\approx 10$ نفر کاهش در سال)، تعداد دانش‌آموزان عضو کتابخانه در سال‌های آینده به زودی به $\mathbf{صفر}$ خواهد رسید (یا به طور واقع‌بینانه، در حداقل تعداد ثابت خواهد ماند). --- ### پ) رسم نمودارهای دایره‌ای نمودار دایره‌ای برای مقایسهٔ $athbf{درصد \text{ سهم}}$ هر گروه از $athbf{کل \text{ اعضای \text{ جدید}}$ مناسب است. (درصد سهم را محاسبه می‌کنیم.) | سال | سهم $\mathbf{D}$ | سهم $\mathbf{O}$ | |:---:|:---:|:---:| | $\mathbf{2 \text{ سال \text{ پیش}}$ | $\frac{65}{85} \approx 76\%$ | $\frac{20}{85} \approx 24\%$ | | $\mathbf{پارسال}$ | $\frac{50}{80} = 62.5\%$ | $\frac{30}{80} = 37.5\%$ | | $\mathbf{امسال}$ | $\frac{40}{80} = 50\%$ | $\frac{40}{80} = 50\%$ | **توصیف نمودار دایره‌ای:** * **امسال:** دایره به دو $athbf{50}$% مساوی تقسیم می‌شود. (Image of a pie chart divided into two equal halves) * **پارسال:** بخش دانش‌آموزان کمی بزرگتر ($\mathbf{62.5}$%) و بخش سایر اعضا کمی کوچکتر ($\mathbf{37.5}$%) است. --- ### ت) عوامل مؤثر بر روند تغییرات عواملی که باعث **کاهش عضویت دانش‌آموزان** و **افزایش عضویت سایر اعضا** شده‌اند، عبارتند از: 1. **تمرکز بر جذب عمومی:** تبلیغات و برنامه‌های مدرسه بیشتر بر جذب $\mathbf{افراد \text{ خارج \text{ از \text{ مدرسه}}$ متمرکز شده است. 2. **کاهش انگیزهٔ دانش‌آموزان:** ممکن است برنامه‌های جدید کتابخانه برای دانش‌آموزان جذاب نباشد یا $\mathbf{فشار \text{ درسی \text{ در \text{ مدرسه}}$ بیشتر شده باشد و وقت کمتری برای مطالعهٔ آزاد داشته باشند. 3. **سادگی عضویت:** ممکن است **فرآیند \text{ عضویت}}$ برای افراد خارج از مدرسه ساده‌تر شده باشد. (این روند اگر ادامه یابد، ماهیت «کتابخانهٔ مدرسه» را تغییر خواهد داد.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه 40 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین به تحلیل **نمودار دایره‌ای (درجه و درصد)** و شناسایی **سوگیری (Bias)** در فرآیند جمع‌آوری داده‌ها می‌پردازد. --- ### الف) محاسبه درصد گروه سنی $\mathbf{40}$ تا $\mathbf{60}$ سال **۱. محاسبه درجهٔ مربوط به گروه $\mathbf{40}$ تا $\mathbf{60}$ سال:** جمع کل درجه‌های دایره $\mathbf{360 \text{ درجه}}$ است. $$\text{درجه } (40 \text{ تا } 60) = 360 - \text{درجه } (< 20) - \text{درجه } (20 \text{ تا } 40)$$ $$\text{درجه } (40 \text{ تا } 60) = 360 - 54 - 90 = 216 \text{ درجه}$$ **۲. محاسبه درصد:** $$\text{درصد} = \frac{\text{درجهٔ بخش}}{\text{کل درجه}} \times 100$$ $$\text{درصد } (40 \text{ تا } 60) = \frac{216}{360} \times 100 = 0.6 \times 100 = \mathbf{60 \text{ درصد}}$$ --- ### ب) شناسایی عامل سوگیری (دور شدن از واقعیت) مسئول می‌گوید: «بیشتر بازدیدکنندگان کمتر از $\mathbf{40}$ سال دارند.» اما نمودار نشان می‌دهد که گروه $\mathbf{40}$ تا $\mathbf{60}$ سال ($athbf{60}$%) بیشترین سهم را دارند. باید عاملی را انتخاب کنیم که باعث شده $\mathbf{نمونه}$، $\mathbf{\text{افراد \text{ مسن‌تر}}$ را **بیش از حد** نشان دهد. | گزینه | نوع سوگیری | نتیجه بر نمونه | |:---:|:---:|:---:| | $\mathbf{1}$. عدم پاسخگویی زیر $\mathbf{40}$ سال | **سوگیری \text{ عدم \text{ پاسخ}}$ | باعث می‌شود گروه $\mathbf{\text{مسن‌تر}}$ سهم بیشتری پیدا کند. | | $\mathbf{2}$. گردآوری داده‌ها در $\mathbf{ساعات \text{ اداری}}$ و حضور بازنشستگان | **سوگیری \text{ انتخاب}}$ | افراد بازنشسته (اغلب مسن‌تر) در ساعات اداری در دسترس‌ترند و حضورشان در نمونه **بیشتر** از واقعیت می‌شود. | | $\mathbf{3}$. حضور دانش‌آموزان برای بازدید | **سوگیری \text{ انتخاب}}$ | دانش‌آموزان $(\mathbf{\text{زیر } 20 \text{ سال}})$ را **بیش از حد** در نمونه نشان می‌دهد که با فرض مسئله ($athbf{40} \text{ تا } 60 \text{ سال \text{ بیشترین \text{ سهم \text{ را \text{ دارند})}$ **متناقض** است. **پاسخ صحیح:** $athbf{بسیاری \text{ از \text{ افراد \text{ کمتر \text{ از } 40 \text{ سال \text{ تمایلی \text{ به \text{ پاسخگویی \text{ به \text{ سؤالات \text{ پرسشگر \text{ نداشته‌اند}}$. **توضیح:** این وضعیت یک نمونه از **سوگیری عدم پاسخگویی (Non-Response Bias)** است. اگر گروه جوان‌تر تمایلی به شرکت در نظرسنجی نداشته باشند، نمونهٔ نهایی به‌طور نامتناسبی سهم بیشتری از گروه‌های سنی دیگر (گروه $\mathbf{40}$ تا $\mathbf{60}$ سال) را خواهد داشت و نتایج مطالعه، جامعه را مسن‌تر از واقعیت نشان می‌دهد. (گزینهٔ $\mathbf{2}$ نیز قوی است، اما $\mathbf{1}$ مستقیم‌تر به مشکل اشاره می‌کند.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه 40 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین یک مثال بارز از **استدلال آماری گمراه‌کننده** است که ناشی از نادیده گرفتن **جامعهٔ آماری (پایه)** است. ### ۱. اشکال در نتیجه‌گیری اشکال در نتیجه‌گیری این است که $\mathbf{تعداد \text{ تصادف \text{ را \text{ به \text{ جای \text{ مقایسه \text{ با \text{ تعداد \text{ خودروهای \text{ در \text{ حال \text{ حرکت \text{ در \text{ آن \text{ سرعت، \text{ با \text{ تعداد \text{ تصادف \text{ در \text{ سرعت‌های \text{ دیگر \text{ مقایسه \text{ کرده \text{ است}.}}$ **نتیجه‌گیری غلط:** «هر چه سریع‌تر بروید، مطمئن‌تر و امن‌تر است.» ### ۲. چرا این تصور ایجاد شده است؟ (نادیده گرفتن جامعهٔ آماری) این تصور اشتباه به دلیل نادیده گرفتن **فراوانی نسبی** به جای **فراوانی مطلق** ایجاد شده است: 1. **جامعهٔ آماری پنهان:** تعداد خودروهایی که در جاده‌ها با سرعت‌های $\mathbf{\text{زیر } 90 \text{ کیلومتر}}$ حرکت می‌کنند (مثلاً $\mathbf{40 \text{ تا } 50 \text{ کیلومتر}}$) $\mathbf{بسیار \text{ بیشتر}}$ از تعداد خودروهایی است که با سرعت‌های $\mathbf{110 \text{ تا } 120 \text{ کیلومتر}}$ حرکت می‌کنند. 2. **فراوانی مطلق:** اگر در یک روز $\mathbf{100,000}$ خودرو با سرعت $40 \text{ کیلومتر}$ حرکت کنند و $\mathbf{1,000}$ خودرو با سرعت $110 \text{ کیلومتر}$ حرکت کنند، طبیعی است که $\mathbf{تعداد \text{ تصادف}}$ در سرعت $40$ بیشتر باشد. 3. **فراوانی نسبی (احتمال):** برای قضاوت درست باید **نرخ \text{ تصادف \text{ (تعداد \text{ تصادف / \text{ تعداد \text{ کل \text{ خودروها \text{ در \text{ آن \text{ سرعت)}$ را بررسی کرد. به طور منطقی، **نرخ تصادف** در سرعت‌های بالا بسیار بیشتر است، حتی اگر تعداد مطلق تصادف‌های آن‌ها کمتر از سرعت‌های پایین باشد.